人教版九年级数学下册知识点总结

第二十六章 二次函数
26.1 二次函数及其图像
二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为 f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式 y = ax² + bx + c（a ≠ 0，a、b、c为常数），顶点坐标为 (-b/2a, - (4ac - b²) / 4a)；
顶点式 y = a(x + m)² + k（a ≠ 0，a、m、k为常数），顶点坐标为 (-m, k)，对称轴为 x = -m。
交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂)（仅限于与x轴有交点 A(x₁, 0) 和 B(x₂, 0) 的抛物线）。
重要概念：a、b、c为常数，a ≠ 0，且a决定函数的开口方向。
当 a > 0 时，开口方向向上；当 a < 0 时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小，a的绝对值越大，开口就越小，a的绝对值越小，开口就越大。
求根公式：x₁, x₂ = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a。
二次函数的图像是抛物线，不同的二次函数图像通过平移得到。
抛物线的性质：
1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b / 2a。
2. 抛物线有一个顶点 P，坐标为 P(-b/2a, (4ac - b²) / 4a)。当 -b / 2a = 0 时，P 在 y 轴上；当 △ = b² - 4ac = 0 时，P 在 x 轴上。
3. 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。
4. 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。
当 a 与 b 同号时（即 ab > 0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab < 0），对称轴在 y 轴右。
第二十七章 相似
相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似三角形的判定：
1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2. 三边成比例的两个三角形相似。
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4. 两角分别相等的两个三角形相似。
相似三角形的性质：
相似三角形对应角相等，对应边成比例。
第三十章 锐角三角函数
锐角三角函数的定义：
正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sinA。
余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 cosA。
正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 tanA。
三角函数值只与角的大小有关，与三角形的边长无关。

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